Kontrollfragen:

-         Welchen Radius hat der Einheitskreis?

-         Wie werden die Koordinaten eines Punktes auf dem Einheitskreis berechnet, wenn der Winkel bekannt ist?

-         Beschreibe wie man vom Einheitskreis zur Sinusfunktion kommt.

-         Kann man die Bogenmaßberechnung auch in einem Kreis mit Radius  verwenden? Warum?

 

 

Lösungen der Kontrollfragen:


Sinus und Kosinus im Einheitskreis:

Bisher kanntet ihr Sinus und Cosinus nur für die Winkel- oder Seitenberechnung im rechtwinkligen Dreieck. Das ist aber nicht alles. Stellt man diese Verhältnisse als Funktionen dar, kann man damit z.B. viele Vorgänge in der Natur modellieren. Um das zu verstehen, müssen wir uns aber erst einmal angucken, wie diese Funktionen aussehen.

Dafür zeichnen wir eine Uhr in ein Koordinatensystem, beschriften diese aber etwas anders:

 

 

Der Radius des gezeichneten Kreises ist 1. Jede Position des Uhrzeigers bzw. der Pfeiles können wir durch ein rechtwinkliges Dreieck analysieren.  Das Besondere beim Radius 1 ist, dass die Hypotenuse gerade 1 ist. Daher vereinfacht sich die Berechnung der Verhältnisse für Sinus und Cosinus:

 


 

Unsere Uhr läuft gegen den Uhrzeigersinn (also rückwärts) und beginnt bei 3 Uhr bzw. bei der 1 auf der x-Achse. Dementsprechend messen wir den Winkel des Zeigers vom positiven Teil der x-Achse bis zum Zeiger (wichtig: hier muss die Bewegungsrichtung des Zeigers beachtet werden!).

 

 

Koordinatenberechnung auf dem Einheitskreis:

Mit Hilfe von Sinus und Kosinus können wir auch die Koordinaten der Punkte auf dem Kreis angeben. Für einen Winkel  können wir für die x-Koordinate einfach den  und für die y-Koordinate  eintragen. Was passiert aber, wenn der Winkel  wird?

 

 

Wird der Winkel größer als 90°, lasst Euch nicht verunsichern. In der Skizze seht Ihr, dass der Winkel des Pfeiles kontinuierlich größer wird, wir machen aber einfach weiter wie zu vor und können dann die Koordinaten der Punkte auf dem Kreis mit  aufschreiben. Man kann auch  schreiben. Der ein oder andere fragt sich jetzt vielleicht: und warum darf ich das jetzt einfach so machen? Der Grund dafür ist, dass es einfach so definiert wurde. Es wäre ja auch unpraktisch jetzt einfach anders weiterzumachen und damit jede Regelmäßigkeit zu verlieren.

Der nächste Schritt ist nun der Übergang zu einer Funktion. Stellt Euch nun vor, dass sich der Zeiger der Uhr langsam dreht. Zuerst beobachtet Ihr den Sinus von  Dieser entspricht gerade dem y-Wert. Daher ist der Sinus beim Winkel  gerade 0, denn der Zeiger liegt auf der x-Achse, so dass der y-Wert 0 ist.

Nun dreht sich der Zeiger gegen den Uhrzeigersinn, beginnend auf der x-Achse. Im Bereich von 0° bis 90° wird der Sinus größer. Dann wird er im Bereich 90° bis 270° kleiner, wobei er bei 180° vom positiven in den negativen Bereich sinkt. Von 270° bis 360° steigt er wieder, bis er zu 0 wird. Der Vorgang wird dann wiederholt.

 

 

Zeichnen der Sinusfunktion:

Mit dieser Beobachtung können wir eine Funktion zeichnen. Wir zeichnen die Werte für  auf die x-Achse und die Werte von  auf die y-Achse.

 

 

 

 

Zeichnen der Kosinusfunktion:

Als nächstes möchten wir auch die Funktion des Kosinus zeichnen. Für  ist der , der der Kosinus dem x-Wert entspricht. Für die Funktion wird dieser aber auf die y-Achse eingetragen, sodass wir die Werte nicht so einfach wie zuvor übertragen können.

Damit wir dieselbe Vorgehensweise wie beim Sinus verwenden können drehen wir das Koordinatensystem mit Kreis um 90° nach links.

 

 

Durch diese Drehung erhalten wir den gleichen Kreis, wie für den Sinus:

 

 

 

Die Drehung sehr Ihr in der Verschiebung der Funktionen. Der Kosinus hat die gleiche Form wie ein Sinus, der um 90° später startet und damit um 90° nach links verschoben ist.

 

 

Bogenmaß:

Nun ist es so, dass es für viele Anwendungen unpraktisch ist, wenn auf der x-Achse die Einheit Grad steht und keine Strecke. Im Einheitskreis können wir jedem Winkel  eine Strecke auf dem Kreis zuordnen: das Bogenmaß b.

 

 

Im Einheitskreis können wir den Umfang des Kreises so berechnen: . Dem gesamten Umfang können wir den Winkel des Kreises  zuordnen und einem Teilstück b können wir den Winkel  zuordnen. Teilen wir jeweils die Kreisstrecke durch den dazugehörigen Winkel, so ist das Ergebnis immer gleich, so dass wir dadurch eine Umrechnung folgern können:

 




 

Hier sind ein paar Beispiele für die Umrechnung einiger Winkel:

 






 

Damit können wir die Beschriftung unserer x-Achse von Grad auf Bogenmaß ändern. Die Form der Sinus- und Kosinusfunktion bleibt dabei gleich:

 

 

 

Periodizität:

Lassen wir den Zeiger immer wieder im Kreis laufen, dann sehen wir dass sich die Werte für Sinus und Kosinus alle 360° bzw alle  wiederholen. Das nennt man periodisch. Es gilt z.B.

 



 


Das ganze kann man auch in einer allgemeinen Regel aufschreiben:

 



 

 

Anwendung:

Eine naheliegende Anwendung für diese Funktionen ist z.B. das Modellieren von Wasserwellen. Das sieht man am Bild der Funktionen sehr gut.

Auch jede andere Art von Wellen kann durch Sinus und Cosinus beschrieben werden. In der Physik gibt es nicht nur Wasserwellen, sondern auch Erdbeben sind Wellen, genauso wie Licht. Gewisse Arten von Anwendungen werden auch oft für Abituraufgaben verwendet. Nicht selten sind diese Aufgaben die leichtesten und gut zum Punkte sammeln ;)

Wenn Ihr Euch noch genauer für die Anwendungen interessiert, dann könnt Ihr Euch auf das Thema Wellen in Physik in der Oberstufe freuen.

 

 

Aufgaben:

1.)    Berechne den  für die Winkel

 

 

und  für

 

 

 zeichne die Punkte in das Koordinatensystem ein und verbinde die Punkte.

 

 

2.)  Berechne  und  für  und zeichne die Punkte in das Koordinatensystem. Verbinde die Punkte danach zu den Funktionen.

 

 

3.)  Zeichne , ,  und  in den vorgegebenen Koordinatensystemen ein.

 

 

4.)  Berechne die Koordinaten der Punkte  bis

 

 

5.)  Miss die Winkel der Zeiger zu den Punkten  bis . Zeichne danach die Punkte des Einheitskreises auf der Sinusfunktion ein.